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Source: http://www.crdp.ac-grenoble.fr/imel/jlj/son_et_lumiere/infogene.htm

Généralités sur le son

Ce que nous entendons est dû à des variations de la pression de l'air dans notre oreille qui peuvent être provoquées par des phénomènes divers (un cri, un frottement, un instrument de musique ...).

Bruit et son

Si la variation autour de la pression moyenne n'est pas régulière dans le temps, nous entendons ce que l'on appelle un bruit qui est rarement agréable. Par contre si elle se répète de façon régulière (on dit alors qu'elle est périodique), nous avons un son.

un bruit un son

Cette distinction est un peu schématique et un son naturel varie toujours dans le temps mais la forme du signal est toujours à peu près la même.

Les sons

Un son a trois caractéristiques définies par l'amplitude, la période et la forme du signal.

Amplitude

L'amplitude détermine la puissance du son, avec une grande amplitude (de grosses différences de pression), le son est fort, avec une petite amplitude le son est faible. 

Voici, par exemple quelques sons qui ne différent que par leur amplitude (de gauche à droite, chaque son a une amplitude double du précédent) :

Ecouter WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3

Remarque :

Tous les exemples de sons sont proposés en WAV et en MP3. Le son WAV est de bien meilleure qualité mais particulièrement volumineux. Ecoutez de préférence les sons WAV si vous disposez d'une connexion rapide (ADSL, cable ...), limitez vous au MP3 si vous n'avez qu'une connexion par modem, vous aurez un son moins bon mais ne serez pas obligé d'attendre de nombreuses secondes avant d'écouter le résultat.

Pour la mesure des puissances on utilise le décibel mais nous ne pouvons vous les faire apprécier, tout dépend des réglages de vos hauts-parleurs. 

Période

La période (ou longueur d'onde) détermine la hauteur du son, si elle est longue le son est grave, si elle est courte il est aigü. 

Dans la pratique, on utilise la fréquence qui est l'inverse de la période. Si par exemple, la période dure 1/100ème de seconde, il y a 100 périodes par seconde ; nous disons que la fréquence du son est 100. Plus généralement, si un son a une période qui se répète n fois par seconde, nous dirons que sa fréquence fondamentale est n. Par exemple, la note LA du diapason a une fréquence de 440 Hz (440 périodes par seconde) et tout son dont la fréquence est 440 Hz est un LA.

Voici, par exemple quelques sons de fréquences différentes : (ne prendre que des sons purs)

55 Hz 110 Hz 220 Hz 440 Hz 880 Hz 1760 Hz 3520 7040
WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3

L'oreille humaine est sensée entendre les sons allant de 16 à 20000Hz mais pour atteindre ces limites, il faudrait d'excellentes conditions d'écoute (casque, pas de bruit ambiant) et une oreille qui n'ait pas été détériorée par des musiques trop fortes.

Remarque : Les basses et les aigus demandent des puissances beaucoup plus grandes que les médiums pour être entendues à un niveau équivalent. Dans les exemples précédents, par exemple, le son à 55 Hz a une amplitude 4 fois plus grande que le son a 440 Hz.  

Le timbre

Un LA donne des impressions sonores très différentes suivant qu'il provient d'une voix, d'une trompette, d'un piano ou d'une guitare. Dans chaque cas, la fréquence fondamentale est la même mais le signal a une forme différente et nous disons que le timbre du son est différent.

Voici, par exemple quelques sons de même fréquence fondamentale mais de timbres différents  :

WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3

Une propriété fondamentale de tous les signaux périodiques est le fait que l'on peut toujours les décomposer en une somme d'un nombre fini (ou infini) de sinusoïdes. Cette technique s'appelle décomposition en séries de Fourier, nous avons du mal à l'imaginer mais vous en trouverez une excellente animation à l'adresse suivante : http://licencer.free.fr/fourrier/fourrier.html. Vous constaterez que l'on peut même décomposer un signal carré ou triangulaire en somme de sinusoïdes.

Parmi les sons, on peut distinguer des sons purs se limitant à une seule sinusoïde comme par exemple celui du diapason et des sons qui peuvent se décomposer en plusieurs sons purs.

La première sinusoïde de la décomposition a pour fréquence la fondamentale et les autres sinusoïdes ont des fréquences qui en sont des multiples (les périodes en sont des diviseurs). Un son qui n'est pas pur, comporte donc une composante plus grave, celle de la fondamentale et des composantes plus aigues provenant des autres fréquences.  Les sons purs correspondant à ces fréquences sont souvent entendus en même temps que le son fondamental et l'on a tendance à considérer que ces sons vont bien ensemble, ils sont harmoniques. Nous parlons donc d'harmoniques pour toutes ces fréquences entendues en même temps que le son fondamental.

Chacune des harmoniques a trois caractéristiques : sa fréquence, son amplitude et son déphasage correspondant  à un décalage dans le temps entre la sinusoïde et celle de la fondamentale.

Voici, par exemple la décomposition des sons que nous venons de voir. Sur la partie inférieure du tableau sont listées les différentes harmoniques composant le son. Sont notées successivement la fréquence (f) comme un multiple de la fondamentale, l'amplitude (a) exprimée comme un pourcentage de l'amplitude de la fondamentale et le déphasage (d) en degrés.  

pas d'harmoniques

f = 2 ; a = 50% ; d = O° 
f = 5 ; a = 10% ; d = 90°
f = 3 ; a = 50% ; d = 90°
f = 5 ; a = 15% ; d = 90°
f = 2 ; a = 25% ; d = 60°
f = 3 ; a = 15% ; d = 90°
f = 6 ; a = 10% ; d = 90°
f = 9 ; a = 5% ; d = 60°  

Appréciation du déphasage

Dans le tableau suivant, nous voyons deux signaux comportant les mêmes harmoniques. Le premier n'a aucun déphasage alors que le second a des sinusoïdes déphasées.  Curieusement, l'oreille humaine ne fait pas la différence entre ces deux signaux qui ne différent que par les déphasages. Pour vous en convaincre, écoutez les deux sons ci-dessous (vous entendrez alternativement chacun d'entre eux pendant une seconde avec un silence d'un dixième de seconde entre deux sons).

Premier son Deuxième son
Fréquence fondamentale et
1 harmonique non déphasée
Signal composé obtenu  Fondamentale avec l'harmonique 
déphasée. Le déphasage est d'un 
quart de période, on dit qu'il est 
de 90°
Signal composé obtenu
WAV  MP3

Nous vous proposons à nouveau le test avec des sons un peu plus complexes :

Signal non déphasé Signal déphasé
WAV  MP3
Appréciation de la hauteur des sons

Prenons les sons ci-dessous et commençons par comparer les sons 400 et 500 Hz puis les sons 800, 900 et 1000 Hz.

400 Hz 500 Hz 800 Hz 900 Hz 1000
WAV MP3 WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3

Nous constatons que la différence de hauteur entre 400 et 500 Hz est plus importante qu'entre 800 et 900 alors que dans les 2 cas, il y a 100 Hz d'écart.

Par contre elle est équivalente à la différence entre 800 et 1000 Hz et nous avons .

Nous en concluons que l'oreille n'est pas sensible à la différence entre les fréquences mais à leur rapport.

Les battements

Lorsque deux sons de fréquence proches sont émis, nous entendons des battements et le son oscille entre des périodes fortes et des périodes plus faibles. Pour comprendre ce phénomène, vous pouvez consulter le site http://www.walter-fendt.de/ph11f/beats_f.htm qui donne des explications et l'illustre dans une applet Java.

Voici trois exemples où deux sons différents sont émis simultanément :

400 Hz - 401 Hz 400 - 410 Hz 400 - 600 Hz
Battements lents Battements rapides Pas de battements perceptibles
WAV MP3 WAV  MP3 WAV  MP3

 

Remarque :

Les sons et les dessins ont été créés à l'aide d'un petit logiciel, SON.EXE qui a été développé pour permettre l'écriture de ces pages. Vous pouvez le télécharger si vous désirez :

Télécharger SONS.EXE (280 Ko)

 

Les notes de musique

Une note, le LA

En musique, seules quelques fréquences de sons sont utilisées, les notes. De plus, pour que plusieurs instruments, y compris à notes fixes  (flute, saxophone, orgue, ...) puissent jouer ensemble, une note de base a été fixée. Cette note a été fixée à 440 Hz et est donnée par le diapason, c'est le LA.

On pourrait croire que cette valeur de 440 Hz a été choisie pour une qualité particulière et qu'elle est plus agréable à entendre que 430 ou 450 Hz mais ce n'est absolument pas le cas et cette valeur a été fixée arbitrairement. Le LA a par ailleurs évolué dans le temps et a pris des valeurs assez différentes. 

Année 1700 1810 1858 Actuellement
Fréquence 404 Hz 423 Hz 457 Hz 440 Hz
WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3

Entendus les uns après les autres, nous constatons que ces sons sont très différents mais séparément, nous serions pour la plupart incapables de dire quel est le LA du diapason actuel. En effet, une seule personne sur mille est capable de reconnaître la hauteur d'une note unique.

Ecoutons maintenant les sons suivants dont les fréquences sont des multiples ou des diviseurs du LA du diapason :

LA 1 LA 2 LA 3 LA 4 LA 5 LA 6 LA 7
110 Hz 220 Hz 440 Hz 880 Hz 1760 Hz 3520 7040
WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3

Ces notes se ressemblent tellement qu'on leur a donné le même nom LA, la seule différence est qu'elles ne sont pas dans la même octave.

On peut au passage remarquer que le rapport entre deux fréquences successives est 2. Il est donc normal, puisque l'oreille est sensible au rapport des fréquences, que nous ayons l'impression qu'il y a à chaque fois la même différence entre ces notes. 

Remarque :

Le mot "octave" a été utilisé alors qu'il fait référence à notre gamme de 7 notes (8 en comptant les deux notes extrêmes, d'où le terme octave). D'autres termes comme "quinte" ou "tierce" seront également utilisés par la suite mais il ne faudra pas y voir, dans un premier temps, de références à notre gamme actuelle.

Plusieurs notes

Nous venons de constater que le LA 440 Hz est une valeur arbitraire. Par la suite, nous allons choisir une note de base quelconque que nous appellerons DO et allons prendre sa fréquence comme unité. 

Nous avons déjà vu qu'un instrument émet plusieurs fréquences de sons simultanément, une note de base, la fondamentale et des harmoniques dont les fréquences sont les multiples de la fréquence de base. Ces sons allant bien ensemble, il est normal que l'on pense à prendre des harmoniques de la note de base comme autres notes de la gamme.

Si la fréquence de base est 1, les harmoniques ont les fréquences 2, 3, 4, 5, ...

La première harmonique a une fréquence 2, comme nous l'avons déjà vu pour le LA, ce son a une sonorité très proche du son initial tout en étant plus aigu.

Cette première harmonique possible définit donc également un DO qui est la deuxième borne de l'intervalle (l'octave) dans lequel nous allons essayer de glisser de nouvelles notes pour créer une gamme. Ces notes auront toutes des fréquences comprises entre celles des deux DO donc entre 1 et 2.

Comme pour le LA où les fréquences doublent à chaque fois. 1, 2, 4, 8, 16 ... correspondent donc à des DO de plus en plus aigus.

L'harmonique suivante a pour fréquence 3 qui n'est pas une puissance de 2 : ce n'est pas un DO.  Nous ne pouvons pas la choisir comme note de la gamme puisqu'elle n'est pas dans l'intervalle [1;2], par contre nous pouvons la ramener dans la bonne octave en divisant sa fréquence par 2. Nous trouvons 3/2 = 1,5. L'opération que nous venons de faire s'appelle une normalisation.

D'une manière générale, toute note choisie peut être normalisée (ramenée dans l'intervalle [1;2]), il suffit pour cela de diviser (ou multiplier) sa fréquence par 2 autant de fois qu'il est nécessaire.

L'intervalle entre le DO et la note que nous venons de définir s'appelle une quinte juste. 

Cet intervalle a été le seul utilisé jusqu'au 16ème siècle pour définir les notes de musique de nos civilisations européennes. La gamme obtenue s'appelle la gamme de Pythagore qui sera décrite par la suite.  

L'harmonique suivante a pour fréquence 4, c'est encore un DO.

L'harmonique suivante a pour fréquence 5 qui n'est ni une puissance de 2 ni le double de 3. Elle correspond à une nouvelle note qui, ramenée dans l'intervalle [1;2] a une fréquence de 5/4 = 1,25. 

L'intervalle entre le DO et la note que nous venons de définir s'appelle une tierce juste. 

Les deux intervalles de tierce et de quinte ont été utilisés au 16ème siècle pour définir une nouvelle gamme, la gamme de Zarlino qui sera décrite par la suite.  

Nous pourrions continuer avec les harmoniques suivantes (7, 9 ...) mais le principe consistant à utiliser les harmoniques a plusieurs défauts que nous verrons par la suite. D'ailleurs, la gamme tempérée utilisée depuis le 17ème siècle n'utilise pas les harmoniques.

Représenter les notes sur une droite

Pour visualiser les intervalles entre notes sur un dessin nous pouvons les placer sur une règle graduée en fonction de leurs fréquences.

Cette visualisation a un gros inconvénient, elle ne montre pas les intervalles de la façon dont nous les percevons. Pour l'oreille, deux intervalles entre notes sont identiques si les rapports de fréquences sont égaux.

On le constate en particulier au niveau des notes DO qui, à l'oreille sont toujours séparées par un même intervalle alors que sur le dessin celui-ci grandit considérablement.

On peut remarquer également que sur le dessin la 1ère quinte est à mi chemin entre le Do1 et le Do2. Or le rapport et le rapport ; à l'oreille, la 1ère quinte est plus proche du Do 2 que du Do 1.

Pour corriger cela, nous allons utiliser une échelle logarithmique. les personnes qui ont un niveau scolaire de terminale comprendront ce que cela signifie exactement, pour les autres, il suffit de savoir que les graduations sont déformées pour que les valeurs dans des rapports égaux apparaissent avec le même intervalle.

Nous obtenons ainsi la visualisation ci-dessous qui sera utilisée par la suite. 

 

La gamme de Pythagore

Construction de la gamme

La gamme de Pythagore a été utilisée de l'antiquité jusqu'au 16ème siècle et, contrairement à ce que laisse penser son nom, elle n'a pas été créée par Pythagore mais par ses disciples.

Son principe est basé sur une succession de quintes, la première harmonique entendue lorsque l'on joue une note. 

Si l'on part d'une fondamentale DO que nous prenons comme unité de fréquence, la première quinte a pour fréquence 3/2.
Pour définir une nouvelle note, nous allons prendre la quinte de la note trouvée, sa fréquence est qui, normalisée (ramenée dans l'intervalle [1;2]) donne .
En prenant la quinte de la nouvelle note nous trouvons qui, normalisée donne .
La quinte suivante a pour fréquence ce qui donne .

A ce niveau, nous avons 5 notes assez régulièrement réparties et nous pourrions nous arrêter. Nous avons obtenu la gamme pentatonique majeure qui est utilisée en jazz sous sa forme tempérée, en particulier dans le "blues".

La quinte suivante a pour fréquence ce qui donne .
Nous avons maintenant 6 notes et, curieusement, la 7ème note n'est pas celle qui serait définie par la quinte suivante et qui se placerait pourtant dans l'intervalle un peu plus grand entre la 1ère et la 4ème quinte. Elle est calculée sur le fait que si DO est en harmonie avec sa quinte, il est aussi en harmonie avec la note dont elle est la quinte et qui a pour fréquence (car ) ce qui donne dans l'intervalle [1;2].
Nous avons maintenant les 7 notes de la gamme majeure de Pythagore. Pour revenir à la notation traditionnelle nous allons les appeler Do, Ré, Mi ...
Organisation de la gamme

Calculons les rapports de fréquences entre notes successives : 

Nous n'avons que des rapports de 9/8 (tons pythagoriciens) et des rapports de 256/243 (demi-tons pythagoriciens) que nous retrouvons dans l'ordre que nous connaissons dans notre gamme actuelle : 1 ton - 1 ton - 1 demi-ton - 1 ton - 1 ton - 1 ton - 1 demi-ton.

On peut tout de même faire une remarque, le ton est un peu supérieur à la succession de deux demi-tons.

Justifions cette affirmation par un calcul, pas si simple que cela et qui montre la difficulté à travailler avec des notions où seuls les rapports entre les nombres importent.

Si nous allons d'une note A à une note B par un demi-ton puis de la note B vers la note C par un demi-ton  nous avons : 

qui est un rapport un peu plus grand.

Pour être plus précis, le rapport des fréquences est : .

Cette différence de l'ordre de 1/9 de ton n'est pas négligeable et tout à fait audible, elle s'appelle le comma pythagoricien.

Comparaison avec la gamme tempérée

La gamme tempérée est présentée par ailleurs, nous nous contenterons donc d'une comparaison des fréquences et d'une écoute des gammes obtenues en partant d'un DO à la fréquence actuelle 261,63 Hz.

  DO RE MI FA SOL LA SI DO Ecoutons
Gamme de Pythagore 261,63 294,33 331,13 348,84 392,44 441,50 496,69 523,26 WAV  MP3
Gamme tempérée 261,63 293,66 329,63 349,23 392,00 440,00 493,88 523,26 WAV  MP3

Si vous n'êtes pas très habitués, vous verrez peut être assez peu la différence au niveau de la gamme par contre en comparant les deux notes SI, la différence est assez nette (environ 1/16ème de ton) :

WAV  MP3

align="left">Les dièse et les bémol

Pourquoi s'être arrêtés à 7 notes principales plutôt que 5 ou même plus, nous pouvons nous poser la question.

Pour l'instant nous avons trouvé 7 notes qui sont dans l'ordre des quintes : FA - DO - SOL - RE - LA - MI - SI mais rien n'empêche de regarder les autres quintes que ce soit au delà du SI (quinte du SI, puis de la note obtenue ...) ou avant le FA (note dont FA est la quinte ...).

La quinte suivant le SI a pour fréquence .

De la même manière que la quinte du DO est SOL et que la quinte du LA est MI, nous pouvons dire que la quinte du SI est un FA mais ce n'est pas le FA normal et il se place entre FA et SOL, nous l'appellerons FA (FA dièse).

Si nous calculons le rapport

En poursuivant, nous allons trouver les notes DO, SOL, RE, LA, MI et SI et nous pourrions continuer par FA, DO ...

En partant dans l'autre sens et en cherchant la note dont FA est la quinte, nous trouvons un SI compris entre le LA et le SI normal, nous l'appelons donc SI (SI bémol), en poursuivant nous trouverons MI, LA, RE, SOL, DO, FA et nous pourrions continuer par SI, MI ...

En raison de leurs constructions par des quintes, les bémols respectent les mêmes rapports que les quintes et , par exemple :

  soit la même valeur que .

Dièse et bémol sont différents, si nous recherchons la différence entre FA# et SOL, nous trouvons : 

, le comma pythagoricien.
FA SOL Succession
WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3

 

L'ordre des quintes

Nous venons de retrouver l'ordre des dièse (FA - DO - SOL - RE - LA - MI - SI) et l'ordre des bémol (SI - MI - LA - RE - SOL - DO - FA) que nous avons vu en solfège pour les altérations à la clé des différentes gammes.

Ce n'est pas surprenant, il suffit de placer dans l'ordre des quintes les notes que nous venons de voir et d'en prendre 7 successives pour créer la gamme majeure d'une autre note fondamentale. Nous avons pour l'instant trouvé la suite de notes suivante :

FA - DO - SOL - RE - LA - MI - SI - FA - DO - SOL - RE - LA - MI -SI - FA - DO - SOL - RE - LA - MI - SI

La gamme du DO Majeur, s'obtient en prenant les 7 notes :

Pour la gamme du SI Majeur, nous avons les 7 notes :

Pour la gamme du FA Majeur nous avons :

La quinte du loup

Si nous ne voulons pas une infinité de notes différentes avec des risques de battements (nous pouvons définir un FA, un FA ...), il va falloir boucler à un moment ou un autre et assimiler deux notes différentes en une seule pour retomber sur des octaves. En partant de notre gamme de base obtenue par la suite des quintes FA - DO - SOL - RE - LA - MI - SI et en poursuivant dans les dièse, la première note à problème est le MI qui est proche du FA (écart d'un comma pythagoricien), nous allons donc les assimiler et tricher sur la note MI qui sera identique à FA (par la même occasion, FA et MI sont identiques). 

Nous avons réussi à limiter l'ensemble des notes mais dans l'ensemble des quintes, une d'entre elles sera fausse et l'on évitera de la jouer ; c'est la quinte du loup.

Présenté différemment, nous pouvons remarquer que pour retomber sur une note initiale par une succession de quintes, il faudrait qu'un certain nombre de quintes soit égal à un autre nombre d'octaves. 

12 quintes valent 7 octaves à un comma pythagoricien près. Nous tricherons sur une des douze quintes pour que 12 quintes = 7 octaves.

Transpositions

Au vu de des listes présentées dans l'ordre des quintes, nous pouvons constater que les gammes majeures des 7 notes principales peuvent être obtenues à partir de 13 notes, allant du SI au LA dans l'ordre des quintes.

Si pour la quinte du loup nous assimilons le LA et le SI, les 7 gammes peuvent être jouées à partir de 12 notes fixes. 

Avec des instruments à notes fixes, nous allons pouvoir transposer un morceau de musique d'une gamme vers une autre sans trop de difficultés mais il y a tout de même un petit problème ; la quinte du loup ne se trouvera pas à la même position dans chaque gamme ce qui modifiera les impressions ressenties en fonction de la gamme utilisée.

 

La gamme naturelle ou de Zarlino

Construction de la gamme

La gamme de Pythagore s'appuie uniquement sur une succession de quintes et ignore les autres harmoniques de la fréquence fondamentale. La fréquence 5 (5/4 une fois normalisée) ainsi que les fréquences 7, 11, ... sont ignorées alors que la suite de ces notes est agréable à entendre.

Voici, par exemple la suite des harmoniques d'un DO actuel (261,63 Hz) jusqu'à la onzième harmonique : WAV  MP3

La tierce

Dans la gamme de Zarlino, seules la quinte (3/2) et l'harmonique 5 (5/4) sont utilisées. Elle forment ce que l'on appelle un accord parfait majeur qui est particulièrement agréable et était délaissé dans la gamme de Pythagore.

 La fréquence de l'harmonique 5, 5/4 = 1,25 correspondant à peu près au MI de la gamme de Pythagore (1,265625) l'intervalle avec la fondamentale est appelé une tierce naturelle et la note trouvée remplacera le MI de la gamme de Pythagore dans celle de Zarlino.

Voici l'accord parfait majeur (DO - MI - SOL) dans les différentes gammes en partant du DO actuel (216,63 Hz) :

gamme de Pythagore gamme naturelle gamme tempérée
WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3

 

Remarque :

La fréquence de l'harmonique 7, 7/4, appelée la septième naturelle n'est pas utilisée par Zarlino et correspond à une note un peu plus basse que le Si (on parle de Si diminué). Cette note a tout de même été utilisée par certains musiciens comme Tartini. Elle ne peut être jouée avec un piano et tout instrument à notes fixes mais ne pose pas de problèmes pour un violon.

Voici l'accord de septième (DO - MI - SOL - SI-) dans la gamme de Zarlino et les accords de septième les plus proches dans les autres gammes en partant du DO actuel (216,63 Hz) :

gamme de Pythagore gamme naturelle (DO - MI - SOL - SI-) gamme tempérée
WAV  MP3 WAV  MP3 WAV  MP3
La suite des accords parfaits

Pour créer la gamme, Zarlino utilise 3 accords parfaits successifs :

Nous avons obtenu les 7 notes de la gamme.

Si nous prenons 1 comme fréquence du DO, SOL a pour fréquence 3/2, FA a pour fréquence 4/3 et RE pour fréquence 9/8 comme dans la gamme de Pythagore ce qui est normal, ces notes étant obtenues par des quintes.

Par contre MI est la tierce du DO et a pour fréquence 5/4, SI est la tierce du SOL et a pour fréquence 5/4 x 3/2 = 15/8, LA est la tierce du FA et a pour fréquence 4/3 x 5/4 = 5/3;

DO RE MI FA SOL LA SI DO
1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2
  
Gamme de Pythagore
La gamme de Zarlino ressemble à celle de Pythagore mais MI, LA et SI sont plus graves.

Le rapport entre les SI de Pythagore et de Zarlino vaut : , une valeur un peu inférieure au comma pythagoricien. 

Nous trouverions le même rapport en comparant les notes MI et LA des deux gammes.

Comparaison avec les autres gammes

La gamme de Pythagore et la gamme tempérée sont présentées par ailleurs, nous nous contenterons donc d'une comparaison des fréquences et d'une écoute des gammes obtenues en partant d'un DO à la fréquence actuelle 261,63 Hz.

  DO RE MI FA SOL LA SI DO Ecoutons
Gamme de Pythagore 261,63 294,33 331,13 348,84 392,44 441,50 496,69 523,26 WAV  MP3
Gamme de Zarlino 261,63 294,33 327,04 348,84 392,44 436,05 490,56 523,26 WAV  MP3
Gamme tempérée 261,63 293,66 329,63 349,23 392,00 440,00 493,88 523,26 WAV  MP3

Transpositions

Tons et demi-tons ?

Calculons les rapports de fréquences entre les notes successives :

Dans notre gamme du DO, nous avons donc, dans l'ordre :

1 petit ton - 1 grand ton - 1 demi-ton - 1 petit ton - 1 grand ton - 1 petit ton - 1 demi-ton.

Si nous comparons un grand ton et un petit ton, nous trouvons : , une valeur que nous avons déjà trouvé et qui est proche du comma pythagoricien.

Des notes différentes suivant la gamme

Si nous voulons construire la gamme du RE, la note suivante MI devra être à un petit ton de RE, or le MI de la gamme du DO est à un grand ton de RE. Nous aurons donc besoin de deux notes MI différentes, et  . Le rapport entre ces notes est  .

D'une manière générale, toutes les notes, y compris les dièse et bémol peuvent prendre deux valeurs dans un rapport de en fonction de la gamme utilisée. Nous vous passons les calculs mais, par exemple, LA  peut prendre les deux valeurs alors que SI peut prendre une des deux valeurs .

Si nous ne trichons pas, les 7 gammes principales ne nécessiteront pas 13 notes mais près du double ce qui est pratiquement ingérable pour un instrument à notes fixes. Si nous trichons, nous assimilons les valeurs différentes d'une même note en choisissant une des deux valeurs et nous assimilons SI et LA.

Un instrument conçu pour jouer correctement en DO Majeur, ne pourra pas accompagner correctement un chanteur qui, pour des raisons de tessiture transposera la musique en MI ou en FA. 

Vu sous un autre angle, un instrument conçu pour le DO majeur aura des sonorités différentes si l'on joue dans une autre tonalité ce qui n'est pas le cas avec notre gamme tempérée.

La gamme tempérée

L'utilisation de la gamme tempérée date du 17ème siècle dans la musique occidentale. Elle s'appuie sur plusieurs constatations :

Construction de la gamme

 

Puisqu'il n'est pas possible de travailler avec des gammes justes, autant créer une gamme pas trop fausse mais plus simple que les deux que nous connaissons. En prenant des tons égaux et des demi-tons qui soient exactement la moitié d'un ton, l'octave pourra être partagée en 12 parties égales.

Valeur d'un demi-ton

Nous avons déjà vu que l'écart entre les notes s'évalue comme des rapports de fréquences, nous devons donc avoir :

Si ce rapport vaut z, nous avons :

Nous en concluons qu'un demi-ton vaut soit environ 1,059463.

Pour trouver les notes de la gamme, il suffit donc de partir de la fréquence de la fondamentale puis de multiplier à chaque fois par pour trouver la note suivante. Nous obtenons donc les valeurs :

  DO RE MI FA SOL LA SI DO Ecoutons
Gamme tempérée 261,63 293,66 329,63 349,23 392,00 440,00 493,88 523,26 WAV  MP3

 

Comparaison avec les autres gammes

Nous avons déjà présenté la comparaison des gammes dans la page sur la gamme de Zarlino. Nous vous proposons ici de comparer les notes entre elles.

D'une façon générale, on peut remarquer que :

Son WAV

  DO RE MI FA SOL LA SI DO Ecoutons
Gamme de Pythagore 261,63 294,33 331,13 348,84 392,44 441,50 496,69 523,26 WAV  
Gamme de Zarlino 261,63 294,33 327,04 348,84 392,44 436,05 490,56 523,26 WAV  
Gamme tempérée 261,63 293,66 329,63 349,23 392,00 440,00 493,88 523,26 WAV  

Son MP3

  DO RE MI FA SOL LA SI DO Ecoutons
Gamme de Pythagore 261,63 294,33 331,13 348,84 392,44 441,50 496,69 523,26  MP3
Gamme de Zarlino 261,63 294,33 327,04 348,84 392,44 436,05 490,56 523,26   MP3
Gamme tempérée 261,63 293,66 329,63 349,23 392,00 440,00 493,88 523,26   MP3

Les gammes dans le monde

Il n'est pas question dans cet article d'étudier les gammes utilisées dans toutes les civilisations, le sujet est beaucoup trop vaste. Voici tout de même quelques notions et des liens qui vous permettront d'approfondir les sujets.

Si vous connaissez d'autres sites intéressants sur ce thème, veuillez nous les signaler, nous nous ferons un plaisir de compléter ce document par quelques liens supplémentaires.

La musique arabe

Elle utilise comme notre musique occidentale des gammes de 7 notes, chaque octave étant divisé en 6 tons. Le découpage est par contre différent et utilise parfois des intervalles de 3/4 de ton. Comme pour nos musiques occidentales, les transpositions sont possibles et l'on peut partir de différentes notes.

Voici, par exemple la gamme RAST, la plus utilisée dans les musiques orientales :

On peut remarquer que la différence entre cette gamme et notre gamme européenne tempérée se limite aux deux notes MI et SI. 

On peut remarquer que cette gamme ne peut être jouée sur les instruments occidentaux à notes fixes.

Il existe plusieurs autres gammes que vous pourrez consulter, et même écouter sur le site suivant :

http://perso.menara.ma/~dalil/index.html 

Remarque : Le découpage de l'octave en 6 tons indique nettement que les gammes de la musique arable sont tempérées. Par contre les documents consultés sur Internet pour rédiger ce texte n'ont pas permis de déterminer si cette structure est très ancienne ou relativement récente.  

La musique indienne

Elle utilise comme la gamme de Pythagore des suites de quintes (ascendantes) et de quartes (quintes descendantes) mais les tierces sont également prises en compte. On trouve ainsi 26 notes qui peuvent être réduites à 22 si l'on assimile les notes les plus proches.

Pour plus de précisions, vous pouvez consulter le site suivant :

http://etiop.free.fr/shruti.htm

La musique chinoise

La musique traditionnelle chinoise est liée aux rites, chaque empereur imposant la musique à utiliser. Elle est très ancienne et, plus de 2000 ans avant notre ère, l'empereur Hoang Ti avait déjà fixé une note précise servant de base à la musique.

La note de base était déterminée au départ par un son de cloche mais a évolué par la suite vers un son émis par un bambou ayant une longueur et un diamètre précis. Cette note se situerait entre le MI3 et le FA3 de notre gamme tempérée. 

Les 12 notes utilisées ont été déterminées dès le 3ème siècle avant notre ère par une succession de quintes de la même manière que la gamme de Pythagore. Celles-ci ont été corrigées un siècle plus tard et ont pris les valeurs suivantes (en longueurs de bambous qui peuvent facilement être transformées en fréquences) :

Note Longueur Fréquence  Comparaison à notre
gamme tempérée
FA 81 1 1
FA 75 2/3 1,070 1,059
SOL 72 1,139 1,122
SOL 67 1/3 1,203 1,188
LA 64 1,266 1,260
LA 59 2/3 1,357 1.344
SI 56 2/3 1,429 1,414
DO 54 1,5 1,498
DO 50 2/3 1,599 1,586
RE 48 1,687 1,682
RE 44 2/3 1,813 1,781
MI 42 2/3 1,898 1,888
FA 40 1/2 2 2

Les différences entre ces notes et celles de notre gamme tempérée sont faibles les plus grosses étant de l'ordre du comma pythagoricien.

En 1596, le prince Tsaï-Liu fait adopter une nouvelle méthode de calcul basée sur des intervalles égaux entre demi-tons qui correspond exactement à notre gamme tempérée.

Même si dès l'antiquité, la musique chinoise disposait d'une gamme complète de demi-tons, leur usage a été très modéré et sur les 12 notes, seules 5 étaient réellement utilisées FA - SOL - LA - DO - RE (on peut noter au passage que ce sont les 5 notes de base de la gamme RAST arabe). La musique devait rester simple et se garder de tout excès, les autres notes étaient uniquement utilisées pour les transpositions. 

L'utilisation de 7 notes incluant le MI et le SI est plus récente (quelques siècles avant notre ère) et ces notes d'agrément n'étaient utilisées que dans la musique légère.

Ces informations sont extraites du livre de Louis Laloy (1874-1944 : musicologue et érudit ami de Debussy) paru en 1903 "La musique chinoise" .

Vous pouvez trouver le texte intégral de cet ouvrage à l'adresse :

http://www.uqac.uquebec.ca/zone30/Classiques_des_sciences_sociales/classiques/laloy_louis/C24_musique_chinoise/musique_chinoise.html


Jean-Luc Juveneton : Ingénierie Educative - CRDP - Grenoble (38) / imel@ac-grenoble.fr / 20 décembre 2005